Здравствуйте, дорогие читатели моего блога. Сегодня я хочу вас познакомить с новой моей книгой, которая предназначена для обучения математике и программированию детей от 10 -11 лет.
Книга носит название "Погружение в математику с Minecraft и Python" и является продолжением к книге "Python. Великое программирование в Minecraft".
На данный момент она готовиться в печать и прошла вёрстку и корректуру.
Ниже представлено содержание книги. В ней мы попытались собрать наиболее часто используемые термины, понятия и разделы школьной математики и частично затронули разделы высшей математики, но только те, что будут понятны ребёнку, и о которых он так или иначе слышал.
В данной книге мы хотим помочь ребёнку понять многие разделы (темы) математики с применением наглядных демонстраций и оттачивания навыков в программировании. Тем самым показывая важность математики как в программировании, так и в нашем физическом мире, например архитектуре.
Почти каждый раздел сотоит из теории, практики, заданий для закрепления темы и контрольных вопросов.
Ниже представлено содержание книги.
Математические приключения в игре Minecraft с Python
Введение........................................................................................................ 5
ГЛАВА 1
Подготовительная работа.......................................................................... 7
1.1. Установка Python 3............................................................................... 8
1.2. Установка Minecraft Java Edition.
Выбор версий 1.12.2 или 1.17.1..............................................................12
1.3. Сервер Spigot..........................................................................................17
1.4. Процедура запуска..........................................................................18
1.5. Моя первая программа................................................................. 22
ГЛАВА 2
Элементарные математические функции..................................................31
2.1. Библиотека math...................................................................................32
2.2. Линейные функции и их графики.....................................................33
2.2.1. Продвинутый уровень...................................................................52
2.3. Квадратичные функции и их графики.............................................62
2.3.1. Продвинутый уровень................................................................... 78
2.4. Функции n-ой степени........................................................................92
2.5. Показательные функции................................................................... 105
2.6. Тригонометрические и гиперболические функции................. 107
2.6.1. Продвинутый уровень..................................................................115
ГЛАВА 3
Аналитическая геометрия............................................................................118
3.1. Окружность............................................................................................118
3.2. Гипотрохоида..................................................................................124
4 Математические приключения в игре Minecraft с Python
3.3. Фигуры Лиссажу................................................................................. 128
3.4. Спираль Архимеда и винтовая линия............................................. 131
3.5. Поверхности второго порядка........................................................ 135
3.5.1. Гиперболоид.................................................................................. 135
3.5.2. Конус.................................................................................................... 141
3.5.3. Параболоид.................................................................................... 146
3.5.4. Эллипсоид...................................................................................... 153
3.6. Продвинутый уровень ...................................................................... 156
ГЛАВА 4
Стереометрия..........................................................................................160
4.1. Пирамида...............................................................................................160
4.2. Заполненный конус...................................................................... 165
4.3. Цилиндр......................................................................................... 170
4.4. Шар и сфера.................................................................................. 174
4.5. Призма............................................................................................ 182
ГЛАВА 5
Фракталы............................................................................................. 195
5.1. Губка Менгера.............................................................................. 198
5.1.1. Детерминированный способ..................................................200
5.1.2. Рандомизированный способ...................................................... 221
5.2. Пирамида Серпинского.................................................................... 226
5.3. Папоротник Барнси........................................................................... 228
5.4. Кривая Гильберта.............................................................................. 235
Послесловие................................................................................................237
Приложение............................................................................................... 238
Литература................................................................................................ 258
Предметный указатель........................................................................... 259
Об авторах................................................................................................. 263
Авторы: Корягин Андрей Владимирович
Корягина Алиса Витальевна
Для краткого ознакомления с книгой предоставлю небольшую главу.
Будем очень рады узнать ваше мнение в каких бы классах вы применили такой подход, для какого возраста?
Элементарные математические функции
Основы математики были описаны в первой книге «Python. Великое программирование в Minecraft». К данным основам относятся знания в области математических операторов, операторов сравнения, основ теории чисел (целые и дробные). На этом познания в математике не заканчиваются, и дальше, согласно школь-
ной программе, идут решения уравнений и неравенств и различных систем из них, которые перерастают в изучение функций и построение графиков. Затем идёт усложнение уравнений и функций. Все эти моменты мы постараемся рассмотреть в данной книге.
Для упрощения написания программ,связанных с математикой, для разных языков программирования разрабатывались математические библиотеки. Для языка Python — это библиотека math.
Математические приключения в игре Minecraft с Python
2.1. Библиотека math
Модуль math в Python предоставляет набор функций для выполнения математических, тригонометрических и логарифмических операций. Некоторые из основных функций модуля:
ƒ pow(num, power): возведение числа num в степень power
ƒ sqrt(num): квадратный корень числа num
ƒ ceil(num): округление числа до ближайшего наибольшего
целого
ƒ floor(num): округление числа до ближайшего наименьшего
целого
ƒ factorial(num): факториал числа
ƒ degrees(rad): перевод из радиан в градусы
ƒ radians(grad): перевод из градусов в радианы
ƒ cos(rad): косинус угла в радианах
ƒ sin(rad): синус угла в радианах
ƒ tan(rad): тангенс угла в радианах
ƒ acos(rad): арккосинус угла в радианах
ƒ asin(rad): арксинус угла в радианах
ƒ atan(rad): арктангенс угла в радианах
ƒ log(n, base): логарифм числа n по основанию base
ƒ log10(n): десятичный логарифм числа n
ƒ math.hypot(X, Y): вычисляет гипотенузу треугольника с кате-
тами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y))
ƒ math.pi: константа pi = 3,1415926…
ƒ math.e: константа e = 2,718281…
Данная библиотека содержит стандартный набор функций,которые непосредственно применяют школьники с 1 по 11 класс, с затрагиванием и вузовского материала. Со всеми функциями math мы не будем знакомиться, для этого есть документации к библиотекам и книги о детальном их разборе. В первую очередь рассмотрим функции, которые встречаются в школьной программе, и постараемся связать математическую запись с решением практических задач. Начнём с изучения линейных функций общего вида
y = k * x + b.
2.2. Линейные функции и их графики
Линейными функциями называют функции вида y = k * x, где k —это угловой коэффициент или коэффициент пропорциональности. В учебниках по математике существует такая запись: y = k * x + b, где k — это угловой коэффициент или коэффициент пропорциональности, b — число из множества рациональных или иррациональных чисел.
Данную функцию принято называть в профессиональном кругу математиков «аффинной», но в школьных учебниках её называют «линейной». Значение k влияет на то, как будет строиться график, — под каким
углом относительно оси X и Y он будет проходить.
Элемент b указывает на то, где график пересечётся с осью, если x = 0.
Есть два вида задач для этих функций:
ƒ нахождение k и b, если известны точки, принадлежащие графику;
ƒ проверить на принадлежность к графику точек с определёнными координатами.
Звучит вроде страшно и непонятно. Выйдем из абстракции к реальному миру. Возьмите длинную прямую палку, можно заменить на линейку. Палка также описывается данной функцией, в зависимости от того, как мы её расположим относительно начала координат. Что такое начало координат в физическом мире?
Началом координат в реальности может выступить всё что угодно, в основном что-то неподвижное: дерево, стул, стакан, дом, камень… Всё будет зависеть от того, какого размера вы возьмёте палку и какую точность измерения хотите получить. В седьмом классе очень много задач в геометрии и физике на нахождение
размеров объекта и определение расстояния между предметами, и подход с использованием функций также применим к ним.
«Зачем это нужно?» — спросите вы. На это есть множество обоснований, начнём с простого. Вы играете в футбол или стреляетев тире. В обоих случаях ваша задача — попасть в цель. Вы стараетесь бить по прямой, так чтобы мяч или пуля перемещалась вдоль представленного графика линейной функции. Этот график прохо-
дит через ворота или цель в мишени, т. е. координаты этих объектов принадлежат графику линейной функции или, иными словами, траектории движения.
Конечно, в данном случае никто из нас в юном возрасте не начнёт выписывать в этот же момент функцию
и вычислять правильную позицию, всё делается «на глаз», как нам кажется, но мозг всё это просчитывал за доли секунды, и воображаемая траектория полёта мяча — это тоже работа вашего мозга, который соединил две точки и провёл неосознанные вычисления.
Вроде как не убедительный пример применения данных знаний, но опытные игроки так и поступают — создают план действий и набрасывают траекторию движений. Рассмотрим более современный вариант, когда вы непосредственно не видите конечной цели. Например, это запуск спутников и ракет, симулятор стрельбы в компьютерных играх, разработка программного обеспечения для беспилотного транспорта… Во всех этих примерах во время их реальной работы ваше участие сводится к минимуму.
Вычислением и построением графиков функций траектории движения транспорта занимаются исключительно компьютеры.
И от того, как правильно вы определили функцию и подобрали коэффициенты, будет зависеть результат процесса. Во всех этих случаях машина должна просчитать координаты двух точек в определённый момент времени, построить график, проходящий через них, запустить процесс (запуск ракеты, полёт пули, движение в определённом направлении согласно условию) и отслеживать координаты полёта или движения с течением времени, чтобы создать отчёт о проценте успеха реализации задачи.
Теперь немного становится ясно, что математика нужна для получения точного и красивого результата, а не «на глаз». Для решения многих современных задач требуется большая точность, и здесь без математики не обойтись. Но вернёмся к линейным функциям. Сейчас мы попробуем построить графики функций
в Minecraft с разными значениями k и b, чтобы увидеть наглядно, как они влияют на построение.
Для визуализации графиков нам понадобится среда Minecraft, знания в области Minecraft API и Python. Строить графики будем по точкам, т. е. по блокам. Поэтому нам необходима функция setBlock() (смотри приложение).
Рассмотрим первый столбец таблицы и построим для каждой функции графики в Minecraft. Чтобы
различать графики, будем использовать блок «шерсть» с разным цветом (смотри приложение).
Создадим файл lin1.py и запишем стандартные строки кода для импортирования библиотеки Minecraft и настройки связи между кодом и игрой. Импортируем библиотеку по работе с блоками Minecraft и вызовем функцию получения координат игрока (более подробно рассматривается в книге «Python. Великое программи-
рование в Minecraft»).
Для того чтобы запись координат была приведена к общеизвестному виду, создадим переменные x, y, z и присвоим им значения координат игрока.
Рассмотрим первую функцию: y = 0.
Графиком этой функции является прямая, параллельная оси X, т. е. все точки графика будут
находиться на одном расстоянии от оси X. Точнее, прямая будет совпадать с осью X, потому что при любом значении x переменная y принимает значение, равное нулю.
Как это можно реализовать программно? Для этого воспользуемся конечным циклом.
Хоть и прямая бесконечная, но она в любой точке будет неизменной, поэтому достаточно взять отрезок. Возьмём участок графика в промежутке x ∈ [0, 20), т. е. размер прямой будет 20 блоков от позиции игрока.
Для этого графика возьмём белую шерсть.
Выражение: y1 = 0 * x + 0 равносильно функции y = 0, где k = 0 и b = 0.
С каждым шагом мы строим блок, сдвигаясь по оси X на один блок, при этом значение y не меняется, согласно математической записи функции.
Программу необходимо сохранитьв Minecraft Python Minecraft Tools MinecraftPythonAPI
py3minepi-master.
Результат программы представлен на рис. 28.
Теперь, по аналогии, построим остальные графики.
Начнём с y = 0.2 * x.
Для неё запишем аналогичный код и покрасим шерсть в оранжевый цвет:
Запустим программу и получим результат, как на рис. 29.
Как видно, вместо ожидаемой прямой линии представлена ломаная. Это связано с масштабом построения и погрешностью. Так как мы взяли малый промежуток отрезка, а точка графика равна 1/20 размера от целого блока, и блоки в среде строятся по целым значениям, т. е. половина блока строиться не будет, то получаем
соответствующий график. Если увеличить промежуток до 100, то с расстоянием эта кривая «выпрямляется».
Напишем для всех остальных функций коды, где k ≥ 0:
Результат работы программы изображён на рис. 30.
Как видно, угол наклона графиков к оси X различен и напрямую связан с коэффициентом
k, который также называют коэффициентом пропорциональности. Чем выше
k, тем больше угол. Здесь нужно заметить, что существует предел угла, и он равен 90°. График никакой подобной функции не сможет быть строго перпенди-
кулярен оси X, так как угол в 90° недостижим.
Таким же свойством обладает тригонометрическая функция (тангенс) - tg(a), при tg(90°) = ∞.
Поэтому принято считать что, k = tg(a).
Но график, который перпендикулярен оси X, существует. Его математическая запись принимает вид:
x = 0 или x = b. Постройте такой график самостоятельно.
Для примера связи k с tg(a) построим график функции y = x, где k = 1.
Из геометрии известно, что tg(a) равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике.
В данном случае tg(a) = 1.
Открыв таблицу Брадиса, можно легко найти, что tg(a) = 1 при a = 45°.
Построим данный график функции с использованием tg(a).
Для того чтобы применить правильно тригонометрические функции,необходимо учесть то, что в языке программирования Python используется значение угла не в градусах, а в радианах.
Существует общая формула перевода градусов в радианы:
Для вызова тригонометрических функций и числа pi используют библиотеку math. Создадим файл lin2.py и импортируем библиотеки:
Теперь осталось написать код для подключения к креативному миру, преобразовать для простоты работы координаты и создать цикл на 20 повторений с использованием тригонометрической функции tg(45°).
Как видно, есть несколько нюансов записи кода:
ƒ в учебниках по математике принято писать tg, а во многих языках программирования tan;
ƒ угол записан в формате формулы для перевода градусной меры в радианную, и чтобы значение было наиболее точное,вызывают число pi из библиотеки math.
Результат работы программы представлен на рис. 31.
Для сравнения вы можете запустить обе программы и убедиться, что графики функции y = x строятся одинаково, так как 1 — точ-
ное значение.
Если вы будете брать нецелые значения k, то припостроении более длинного графика возможны незначительные
отклонения.
В первую очередь это связано с округлением в средеMinecraft.
Осталось для анализа построить графики функций с k < 0. Для этого рекомендуем подняться в воздух в среде Minecraft (по умолчанию — двойное нажатие клавиши ПРОБЕЛ).
Добавим в программу lin1.py код с отрицательными значениями k<0:
Если запустить программу, то мы получим результат, изобржённый на рис. 32.
Как видно, если k < 0, то график функции направлен вниз и симметричен графикам с равным по модулю k.
Некоторые читатели спросят: «А что такое модуль?»
Модуль — это некий математический оператор, который выводит только положительное значение числа при любом его значении. Общая запись модуля: |a| = |–a| = a.
В нашем случае график функции y = x симметричен графику функции y = –x, а y = 1.5 * x симметричен
y = –1.5 * x и т. д.
Мы рассмотрели построение графиков функций только с положительными значениями x, но также можно рассматривать и отрицательные значения.
Создадим файл lin3.py и скопируем весь код из файла lin1.py.
Изменим в каждом цикле диапазон с [0, 20) до [–20, 20).
Полный код представлен ниже:
Теперь рассмотрим графики функций, при которых k = 0, а b ≠ 0.
Создадим файл lin4.py. Импортируем нужные библиотеки для Minecraft и оптимизируем вывод координат:
Создадим код по уже ранее известной схеме для построения нужных графиков:
Код для построения графиков такой же, как и в предыдущих программах, за исключением небольшого нюанса для корня из 12.
Для того чтобы извлекать корни, необходима функция. Во многих языках программирования корень извлекается с помощью функции sqrt().
Результат представлен на рис. 34.
Как видно, все графики строятся параллельно оси X и проходят точки y, равные 
В первой книге «Python. Великое программирование в Minecraft» были похожие построения, когда рассматривалось создание рядов блоков с помощью циклов и отступов по осям X, Y и Z.
Любые фигуры можно строить, непосредственно зная координаты каждой точки, или применять функции, описывающие фигуры. Данные графики функций c k ≠ 0 или b ≠ 0 рассматривались в вышеупомянутой книге.
Для полного понимания применения линейных функций осталось научиться строить графики, где k ≠ 0 и b ≠ 0. Чтобы анализ был намного глубже, предлагаем построить графики с симметричными коэффициентами.
y = –0.5 * x – 10, y = –0.5 * x + 10, y = 0.5 * x – 10, y = 0.5 * x + 10.
Создадим файл с именем lin5.py и импортируем нужные модули для работы с Minecraft:
Далее по аналогии с предыдущими программами создадим четыре цикла:
Как видно, эти четыре графика образовали греческую букву «сигма». Таким знаком в математике обозначают сумму. Для лучшего восприятия рекомендуем построить оси системы координат. Для этого необходимо написать ещё два цикла:
Теперь более наглядно видно, что графики имеют некоторые общие зависимости.
Графики, согласно программе, строятся в таком порядке: первая функция — это белый график, вторая — оранжевый, третья — фиолетовый и четвёртая — бирюзовый.
###############################################################
На этом демонстрационную часть я закончу.
Буду рад узнать ваше мнение. Интересен опыт применения Minecraft или подобных сред в образовании.
_220430095213.png "math")
_220430095337.png "l1")
_220430101209.png)
_220430101554.png)
_220430101750.png)
_220430102633.png)
_220430102704.png)
_220430103020.png)
_220430103246.png)
_220430104059.png)
